提出了对应于波动光学的波动力学方程,www.350zh.com从统一电弱相互作用的杨-米尔斯理论

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马克斯·玻恩生于德国布雷斯劳,是犹太裔理论物理学家,被称作量子力学的奠基人之一。玻恩曾在法兰克福、哥廷根和爱丁堡大学等高校学习,在数学、物理、天文、法律和伦理学等方面都有涉猎;他提出玻恩近似,著有《晶体点阵动力学》、《关于空间点阵的振动》等作品,获得了诺贝尔物理学奖。1970年,玻恩在哥廷根逝世。人物生平www.350zh.com 1玻恩
玻恩于1882年12月11日出生于德国普鲁士的布雷斯劳(今波兰城市弗罗茨瓦夫)一个犹太人家庭,父亲是布雷斯劳大学的解剖学和胚胎学教授。小时受父亲影响,喜欢摆弄仪器和参加科学讨论。
1901年进入布雷斯劳大学。后来到海德堡大学和苏黎士大学求学。1905年慕名进入哥廷根大学听D.希耳伯特、H.闵可夫斯基等数学、物理学大师讲学。1907年在哥廷根大学通过博士考试,导师是希尔伯特。此后前往剑桥大学跟随拉默尔和约瑟夫·汤姆孙学习了一段时间。1908年至1909年回到布雷斯劳学习相对论。闵可夫斯基曾邀请他去哥廷根与他共事,但是此后不久的1909年冬天闵可夫斯基便去世了,玻恩受命继续闵可夫斯基在物理领域的研究工作。玻恩在1909年获得大学任教资格,先是在哥廷根大学受聘为无薪金讲师,1912年接受迈克尔逊的邀请前往芝加哥教授相对论,并与迈克尔逊合作完成了一些光栅光谱实验。此外,玻恩对固体理论进行过比较系统的研究,1912年和冯·卡尔曼一起撰写了一篇有关晶体振动能谱的论文,他们的这项成果早于劳厄(1879—1960)用实验确定晶格结构的工作。
1913年8月2日玻恩与爱伦伯格(H.
Ehrenberg)结婚。他们都是路德教教徒,有三个孩子。那时玻恩喜好的消遣活动是长途徒步旅行和音乐。
1915年玻恩去柏林大学任理论物理学教授,并在那里与普朗克、爱因斯坦和能斯特并肩工作,玻恩与爱因斯坦结下了深厚的友谊,即使是在爱因斯坦对玻恩的量子理论持怀疑态度的时候,他们之间的书信见证了量子力学开创的历史,后来被整理成书出版。玻恩在柏林大学期间,曾加入德国陆军,负责研究声波理论和原子晶格理论,并于1915年发表了他的第一本书《晶格动力学》(Dynamik
der Kristallgitter),该书总结了他在哥廷根开始的一系列研究成果。
1919年第一次世界大战结束后,玻恩转去法兰克福大学任教并领导一个实验室,他的助手奥托·施特恩后来也获得了诺贝尔物理学奖。1921年至1933年玻恩与好友夫兰克一同回到哥廷根大学任教授,主要的工作先是晶格研究,然后是量子力学理论。他在哥廷根费米、狄拉克、奥本海默和玛丽亚·格佩特-梅耶等一大批物理学家合作。1925年至1926年与泡利、海森堡和帕斯库尔·约尔丹(Pascual
Jordan)一起发展了现代量子力学的大部分理论。1926年又发表了他自己的研究成果玻恩概率诠释,后来成为著名的“哥本哈根解释”。
卢瑟福-玻尔的原子行星模型和玻尔关于电子能级的假设(其中把普朗克的量子概念与原子光谱联系起来了)曾被用来解释后来知道的一些数据和现象,但只取得了一些微不足道的成功。在物理理论从经典向现代过渡的这一时期(约在1923年前后),泡利和海森堡都在哥廷根大学做玻恩的助手。德布罗意在1924年巴黎的论文中提出电子与一组波相联系。海森堡在他的“测不准原理”中,表明了经典力学规律不适用于亚原子粒子,因为不能同时知道这些粒子的位置和速度。
玻恩以此为起点对这一问题进行了研究,他系统地提出了一种理论体系,在其中把德布罗意的电子波认为是电子出现的几率波。玻恩-海森堡-约当矩阵力学与薛定谔发展起来的波动力学的数学表述不同,狄拉克证明了这两种理论体系是等效的并可相互转换。今天,我们把它称为量子力学。
1933年纳粹上台后,玻恩由于是犹太人血统而被停职,并与当时许多德国科学家一样被迫移居国外。移居英国后,1934年起受邀在剑桥大学任教授,这段时间的主要研究集中在非线性光学,并与利奥波德·因费尔德(Leopold
Infeld)一起提出了玻恩-因费尔德理论。1935年冬天,玻恩在印度班加罗尔的印度科学研究所呆了6个月,与C·V·喇曼共事。1936年前往爱丁堡大学任教直到1953年退休。1936年被纳粹剥夺德国国籍。
玻恩很想把量子力学和相对论统一起来,因此他于1938年提出了他的倒易理论:物理学的基本定律在从坐标表象变换到动量表象时是不变的。1939年玻恩加入英国国籍。这时他仍继续从事爱因斯坦和英费尔德曾探索过的统一场论的研究。
1953年,玻恩退休后居住在巴德派尔蒙特,这是位于哥廷根附近的一个旅游胜地。1953年6月28日玻恩成为哥廷根的荣誉市民。1954年由于在量子力学和波函数的统计解释及研究方面的贡献,与瓦尔特·博特共同获得诺贝尔物理学奖。他最后一本关于晶体的书是1954年完成的(与我国物理学家黄昆合作完成)。除了在物理领域的杰出研究外,玻恩还是“哥廷根十八人”(德语:Göttinger
Achtzehn)之一,《哥廷根宣言》的签署人,旨在反对德国联邦国防军使用原子武器装备。
1970年1月5日,玻恩在哥廷根逝世。玻尔和玻恩www.350zh.com 2玻恩等人
尼尔斯·玻尔是丹麦物理学家,哥本哈根学派的创始人,曾获得诺贝尔物理学奖。他提出了玻尔模型来解释氢原子光谱,提出互补原理和哥本哈根诠释来解释量子力学,对20世纪物理学的发展有着巨大影响。
马克斯·玻恩则是德国犹太裔理论物理学家,被称作量子力学奠基人之一,也是诺贝尔物理学奖得主。他创立矩阵力学、解释对波函数、开创晶格动力学等,尤其是对波函数的统计学诠释贡献最大。玻恩的主要成就
创立矩阵力学
1920年以后,玻恩对原子结构和它的理论进行了长期而系统的研究。那时,卢瑟福-玻尔的原子模型和有关电子能级的假设遇到了许多困难。因此,法国物理学家德布罗意于1924年提出了物质波假设,认为电子等微观粒子既有粒子性,也有波动性。1926年奥地利物理学家薛定谔(1887—1961)创立了波动力学。同时,玻恩和海森伯、约尔丹等人用矩阵这一数学工具,研究原子系统的规律,创立了矩阵力学,这个理论解决了旧量子论不能解决的有关原子理论的问题。后来证明矩阵力学和波动力学是同一理论的不同形式,统称为量子力学。因此,玻恩是量子力学的创始人之一。
解释对波函数
为了描述原子系统的运动规律,薛定谔提出了波函数所遵循的运动方程——薛定谔方程。但是,波函数和各种物理现象的观察之间有什么关系,并没有解决。玻恩通过自己的研究对波函数的物理意义作出了统计解释,即波函数的二次方代表粒子出现的几率取得了很大的成功。从统计解释可以知道,在量度某一个物理量的时候,虽然已知几个体系处在相同的状态,但是测量结果不都是一样的,而是有一个用波函数描述的统计分布。因为这一成就,玻恩荣获了1954年度诺贝尔物理学奖。
开创晶格动力学
在他的早期生涯中,玻恩的兴趣集中在点阵力学上,这是关于固体中原子怎样结合在一起如何振动的理论。在冯·劳厄最终证明了晶体的格点结构之前,玻恩和冯·卡门(Von
Karman)就在1912年发表了关于晶体振动谱的论文。玻恩以后又多次回到晶体理论的研究上,1925年玻恩写了一本关于晶体理论的书,开创了一门新学科——晶格动力学。1954年他和我国著名物理学家黄昆合著的《晶格动力学》一书,被国际学术界誉为有关理论的经典著作。
其他成就
1953年退休以后,玻恩劲头十足地研究爱因斯坦的统一场论。1959年,与沃耳夫合著了《光学原理》,至2001年已出至第七版,成为光的电磁理论方面的一部公认经典著作。玻恩还研究了流体动力学、非线性动力学等理论。
玻恩和富兰克(1882—1964)一起把哥廷根建成很有名望的国际理论物理研究中心。当时,只有玻尔建立的哥本哈根理论物理中心可以和它匹敌。人物评价www.350zh.com 3玻恩
在量子理论的发展历程中,玻恩属于量子的革命派,他是旧量子理论的摧毁者,他认为旧量子论本身内在矛盾是根本性的,为公理化的方法所不容,构造特性架设的办法只是权宜之计,新量子论必须另起炉灶,用公理化方法从根本上解决问题。
玻恩先后培养了两位诺贝尔物理学奖获得者:海森堡(1932年获诺贝尔物理学奖);泡利(因为提出不相容原理获1945年的诺贝尔物理学奖)。不过,玻恩似乎没有他的学生幸运,他对量子力学的几率解释受到了包括爱因斯坦、普朗克等很多伟大的科学家的反对,直到1954年才获诺贝尔物理学奖。

埃尔温·薛定谔(Erwin
Schr?dinger,1887~1961),奥地利物理学家,量子力学奠基人之一,发展了分子生物学。维也纳大学哲学博士。苏黎世大学、柏林大学和格拉茨大学教授。在都柏林高级研究所理论物理学研究组中工作17年。因发展了原子理论,和狄拉克(Paul
Dirac)共获1933年诺贝尔物理学奖。又于1937年荣获马克斯·普朗克奖章。

第四章:“量子”物理学的探索史,它的恢宏值得敬畏!

从提出离散的光量子概念,到哥本哈根诠释对波函数与波粒二象性有更深入的理解;从整合物质波的波动力学与矩阵力学表述,到用场来统一描述电磁场与实物粒子;从统一电弱相互作用的杨-米尔斯理论,到描述强相互作用的量子色动力学;从简洁优雅的标准模型,到超越标准模型的弦理论以及其他理论。经过100多年的接力,物理学家逐渐建造起量子力学的宏伟殿堂,并颠覆了我们对世界的认知,然而,直到今天,这些理论只帮助人类理解了4.9%的宇宙,剩下的更大部分的暗物质与暗能量我们仍然所知甚少。

爱因斯坦(Albert
Einstein,1879-1955)认为光本身就是以量子形态存在的,光子是像粒子一样的实体,它能集中地把能量给电子,只要光子的能量足够强,换句话说就是频率足够高(波长足够短),光就能把电子从金属里一脚踢出。这就是爱因斯坦对光电效应的解释,简单直观!

物理学方面,在德布罗意物质波理论的基础上,建立了波动力学。由他所建立的薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子运动状态的基本定律,它在量子力学中的地位大致相似于牛顿运动定律在经典力学中的地位。提出薛定谔猫思想实验,试图证明量子力学在宏观条件下的不完备性。亦研究有关热学的统计理论问题。在哲学上,确信主体与客体是不可分割的。他的主要著作有《波动力学四讲》、《统计热力学》、《生命是什么?——活细胞的物理面貌》等。

上一章我们系统的了解了“宏观”物理学的发展史,从经典物理到相对论的发展,期间有多少个人的名字,就有多少个精彩的故事,在这些精彩故事的背后,是一个个孤独的灵魂在奋斗。

撰文 | 项海波

这里我们发现一个问题,量子力学的研究和物质有关,它涉及我们对物质结构的理解,它寻求对物质性质的解释等等。

1925年底到1926年初,薛定谔在A.爱因斯坦关于单原子理想气体的量子理论和L.V.德布罗意的物质波假说的启发下,从经典力学和几何光学间的类比,提出了对应于波动光学的波动力学方程,奠定了波动力学的基础。他最初试图建立一个相对论性理论,得出了后来称之为克莱因—戈登方程的波动方程,但由于当时还不知道电子有自旋,所以在关于氢原子光谱的精细结构的理论上与实验数据不符。以后他又改用非相对论性波动方程──以后人们称之为薛定谔方程──来处理电子,得出了与实验数据相符的结果。1926年1—6月,他一连发表了四篇论文,题目都是《量子化就是本征值问题》,系统地阐明了波动力学理论。

量子力学是在“宏观”物理学基础上拓展出的一门新科学。现在已经深入到我们生活的方方面面。走近这个世界,你又将看到一个个匪夷所思的奇迹。

1 开宗立派:光量子,玻尔模型

经典物理不是典型的关于物质的理论,比如经典力学研究运动,它把物质抽象为具有质量的点,或这样点的集合,对经典力学来说,一颗铜行星还是一颗铁行星关系不大,我们都是用诸如位置、速度和质量这类物理量来描述。

在此以前,德国物理学家W.K.海森堡、M.玻恩和E.P.约旦于1925年7—9月通过另一途径建立了矩阵力学。1926年3月,薛定谔发现波动力学和矩阵力学在数学上是等价的,是量子力学的两种形式,可以通过数学变换,从一个理论转到另一个理论。薛定谔起初试图把波函数解释为三维空间中的振动,把振幅解释为电荷密度,把粒子解释为波包。但他无法解决“波包扩散”的困难。最后物理学界普遍接受了玻恩提出的波函数的几率解释。1927年—1933
年接替 M.普朗克
,任柏林大学物理系主任。因纳粹迫害犹太人,1933年离德到澳大利亚、英国、意大利等地。1939年转到爱尔兰,在都柏林高级研究所工作了17年。1956年回维也纳,任维也纳大学荣誉教授。1924年,L.V.德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性,即不仅具有粒子性,同时也具有波动性。在此基础上,1926年薛定谔提出用波动方程描述微观粒子运动状态的理论,后称薛定谔方程,奠定了波动力学的基础,因而与P.A.M.狄拉克共获1933
年诺贝尔物理学奖。

马克斯·普朗克

1900年12月14日,精通音乐与作曲的德国物理学家普朗克(Max
Planck,1858-1947)发现,若以一种量子化(quantization),即不连续、离散的观念来看待电磁波的能量随频率的分布,则可以得到关于黑体辐射(对于外来的电磁波无反射、无透射,完全吸收,这样的物体称为黑体(black
body)。
黑体自身辐射出电磁波的现象称为黑体辐射。)的正确公式。尽管后来这一天被视为量子力学的诞生日,但当时普朗克本人对其中蕴含的革命性思想完全不以为意。

化学研究物质,化学家关心物质的颜色、是否有金属光泽,导电性如何等等。但仅仅这些只能算是资料的罗列,还算不得是真正的科学。热力学和统计物理为化学提供了部分理论基础,但远远不够;特别的,热力学和统计物理不涉及化学里的核心问题,即为什么一种元素会和另一种元素那么的不一样?或我们为什么会有元素周期律?

1944年
,薛定谔著《生命是什么》一书,试图用热力学、量子力学和化学理论来解释生命的本性。这本书使许多青年物理学家开始注意生命科学中提出的问题,引导人们用物理学、化学方法去研究生命的本性,使薛定谔成为蓬勃发展的分子生物学的先驱。1956年,薛定谔返回维也纳大学物理研究所,获得奥地利政府颁发的第一届薛定谔奖,在维也纳大学理论物理研究所教学直到去世。当他参加完在阿尔卑包赫村举行的高校活动后,由于当地风景优美而决定死后葬在此地。1957年他一度病危。1961年1月4日,他因患肺结核病逝于维也纳,死后如愿被埋在了阿尔卑包赫村,他的墓碑上刻着以他命名的薛定谔方程。

1900年普朗克在黑体辐射研究中的能量量子化假说是量子理论建立的前奏。尽管在最初的思考中普朗克并不赞同玻尔兹曼的统计理论,但由于他发现无法通过经典的热力学定律来导出辐射定律,他不得不转而尝试统计规律,其结果就是普朗克黑体辐射定律。

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这些问题很大程度上是由原子物理回答的,原子物理是一种关于物质的理论,假设我们对原子施加的能量不够大,原子作为物质存在的一个基本单元会保持稳定,原子的性质主要由原子核外的电子决定,而电子的运动应该由什么样的物理法则来描述呢?

同时普朗克还计算得到了公式中的普适常数,即普朗克常数。然而即使如此,普朗克的能量量子化假说最初也未得到应有的重视,在当时的物理学界看来,将能量与频率联系起来(即E=hv{\displaystyle
\epsilon =h\nu \,}E
)是一件很不可理解的事,连普朗克本人对量子化也深感怀疑,他仍然试图寻找用经典手段解决问题的办法。

图1:黑体辐射的频谱。 普朗克公式与实验结果完全一致。

最简单的原子是氢原子,原子核外只有1个电子,原子核带正电,电子带负电,它们之间会有吸引力,表面看来这和求解月亮如何围绕地球运动一样,区别仅仅是电磁相互作用替代了万有引力。

1905年,爱因斯坦在他的革命性论文《关于光的产生和转变的一个启发试探性的观点》中秉承了普朗克的能量量子化假说,提出了光量子的概念。在爱因斯坦看来,将光看作是一份份不连续的能量子将有助于理解一些电磁理论无法理解的现象:

1905年,爱因斯坦(Albert
Einstein,1879-1955)于苏黎世大学博士毕业,在这一年里,他连续发表了关于光电效应、布朗运动、狭义相对论以及质能关系的四篇论文,在物理学的四个不同领域中同时做出了开创性的巨大贡献。故1905年也被称为爱因斯坦奇迹年(Annus
mirabilis)。其中,在对光电效应的研究中,爱因斯坦提出,量子化并不仅仅是一种数学上的技巧,光的能量本身就是量子化的。具体地说,对于频率为
ν 的光,其能量只能为

根据经典电动力学,如果电子围绕原子核做圆周运动的话,它将会向外辐射能量,以电磁辐射的形式(或说以光的形式),因为电磁相互作用很强,电子本身具有的动能将会以很快的速度被辐射掉,电子因为动能耗尽会像一颗运动速度过慢的卫星那样一头掉到原子核上。这句话翻译过来就是原子不存在了。

在我看来,如果假定光的能量在空间的分布是不连续的,就可以更好地理解黑体辐射、光致发光、紫外线产生阴极射线,以及其他有关光的产生和转变的现象的各种观测结果……这些能量子在运动中不再分散,只能整个地被吸收或产生。— 阿尔伯特·爱因斯坦

E = hν = ?ω

实际上原子相当稳定,比如我们的身体里就有很多很多氢原子,它们显然是非常稳定的,并且这构成了我们能安然坐在这里思考物理问题的前提。

如前所述,这里提到的阴极射线正是光电效应所产生的电流。爱因斯坦进一步将光量子概念应用到光电效应的解释中,并提出了描述入射光量子能量与逸出电子能量之间关系的爱因斯坦光电方程。虽然这一理论在1905年就已提出,真正通过实验验证则是美国物理学家罗伯特·密立根在1916年才完成的。

的整数倍,其中 h = 6.626 × 10^?34 J·s 被称为普朗克常数,? :=
h/2π被称为约化普朗克常数;而一定频率下具有最小能量
的光被称为一个光量子(light
quantum),或叫光子;光的被发射或被吸收最少只能以一个光子的份额进行。当然,再考虑到由狭义相对论导出的光的能量动量关系
E = pc,我们还可获知,光的动量也是量子化的,即

看来经典理论不足以解释原子。

密立根的光电效应实验测量了爱因斯坦所预言的遏制电压和频率的关系,其曲线斜率正是普朗克在1900年计算得到的普朗克常数,从而“第一次判决性地证明了”爱因斯坦光量子理论的正确。不过,密立根最初的实验动机恰恰相反,其本人和当时大多数人一样,对量子理论持相当大的保守态度。

p =h/λ或 p = ?k

~

1906年,爱因斯坦将普朗克定律应用于固体中的原子振动模型,他假设所有原子都以同一频率振动,并且每个原子有三个自由度,从而可求和得到所有原子振动的内能。将这个总能量对温度求导数就可得到固体热容的表达式,这一固体热容模型从而被称作爱因斯坦模型。这些内容发表于1907年的论文《普朗克的辐射理论和比热容理论》中。

为一个光子所携带的动量。爱因斯坦的这种观点极具想象力与突破性,与人们长久以来存于脑中的关于物质世界的“连续性”这一既有观念形成了强烈的冲撞,以至于甚至遭到了作为量子论创始者的普朗克的反对。但它最终被实验证实,成为量子力学的肇始之一。

量子力学与相对论以及从前任何一个物理理论的不同在于它没有一个明确的创建人,我们没法把量子力学和某一位物理学家的名字联系起来,就像我们把经典力学和牛顿,经典电动力学和麦克斯韦,相对论和爱因斯坦联系起来一样。

尼尔斯·玻尔

1913年,为了解决原子光谱的离散性问题,以及在经典物理学框架下
卢瑟福原子模型的不稳定性,新婚第二年的玻尔(Niels
Bohr,1885-1962)提出了关于原子结构的玻尔模型。其核心观点是,

为了说清量子力学的创建史,我们必须提及至少几十个物理学家,他们都曾做出不可忽略的重要贡献,可以说量子力学的创建为我们贡献了最多的物理学大师。

1908年至1909年间,欧内斯特·卢瑟福在研究α粒子散射的过程中发现了α粒子的大角度散射现象,从而猜想原子内部存在一个强电场。其后他于1911年发表了论文《物质对α、β粒子的散射和原子构造》,通过散射实验的结果提出了全新的原子结构模型:正电荷集中在原子中心,即原子中心存在原子核。事实上,卢瑟福并非提出原子结构的“行星模型”的第一人,然而这类模型的问题在于,在经典电磁理论框架下,近距的电磁相互作用无法维持这样的有心力系统的稳定性(参见广义相对论中的开普勒问题中所描述的近距的万有引力相互作用在经典力学中也会给太阳系带来同样问题);此外,在经典理论中运动电子产生的电磁场还会产生电磁辐射,使电子能量逐渐降低,对于这些难题卢瑟福采取了回避的对策。

? 电子稳定地位于原子核外一系列离散的能级上(即轨道能量与角动量
是量子化的);

从普朗克和爱因斯坦开始,玻尔、索末菲、玻恩、德布罗意、海森堡、薛定谔、狄拉克、泡利、约丹、费米、玻色……这还仅仅是理论家。

1912年至1913年间,丹麦物理学家尼尔斯·玻尔肯定了卢瑟福的原子模型,但同时指出原子的稳定性问题不能在经典电动力学的框架下解决,而唯有依靠量子化的方法。

? 只有当电子在两条能级间跃迁时,原子才以频率 ν = /h 发射或吸收谱线。

还有很多实验家的名字同样不能忽略:J J
汤姆逊、卢瑟福、密立根、康普顿、劳厄、布拉格父子、布拉开特、劳伦斯……

玻尔从氢原子光谱的巴耳末公式和约翰尼斯·斯塔克的价电子跃迁辐射等概念受到启发,对围绕原子核运动的电子轨道进行了量子化,而原子核和电子之间的动力学则依然遵守经典力学,因此一般来说玻尔模型是一种半经典理论。这些内容发表在他1913年的著名三部曲论文《论原子构造和分子构造》中。论文中他建立了一个电子轨道量子化的氢原子模型,这一模型是基于两条假设之上的:

对于氢原子等一些简单的情形,玻尔的理论给出了与实验结果?分相符的说明。

如果我们总结的话,这主要是一群生活在西北欧的白种青年男性,大多在20-30岁之间,他们之间紧密合作、互通信息,同时又相互竞争。

1、体系在定态中的动力学平衡可以藉普通力学进行讨论,而体系在不同定态之间的过渡则不能在这基础上处理。

以上这些工作构成了早期量子理论的主要部分。显然,它启发我们,微观世界应该有一个有异于经典物理学的全新的基础性规律。

量子力学是这种青年文化的产物,先是卢瑟福和他的孩子们通过散射实验确立了原子的有核模型,继而是卢瑟福的孩子玻尔猜出了一个能够解释氢原子光谱主要特征的玻尔模型。

2、后一过程伴随有均匀辐射的发射,其频率与能量之间的关系由普朗克理论给出。

2 任督贯通:矩阵力学、波动力学、相对论量子力学

海森堡是玻尔、玻恩和索末菲共同的孩子,他从概念上摒弃了那些很难被观测的物理量,如原子的位置,转而从原子的光谱现象出发构建理论,这是一种反玄学的态度,即让物理公式中只出现那些可被测量的物理量。海森堡第一个取得突破,他找到了一个可以表述为矩阵的数学关系来计算原子的光谱现象。

这一模型很好地描述了氢光谱的规律,并且和实验观测值相当符合。此外,玻尔还从对应原理出发,将电子轨道角动量也进行了量子化,并给出了电子能量、角频率和轨道半径的量子化公式。玻尔模型在解释氢原子的发射和吸收光谱中取得了非常大的成功,是量子理论发展的重要里程碑。

在提出光量子概念以后的?数年里,爱因斯坦进一步指出,波动性与量子性是光所必须具有的内在属性,这被称为光的波粒二象性。1924年,在爱因斯坦光量子理论的启发下,大学早期曾就读于历史学专业的德布罗意(de
Broglie,1892-1987)于其博士论文中提出,有必要把波粒二象性(wave-particle
duality)拓展到全部微观粒子,即波可以具有量子性,而普通实物粒子亦应可以具有波动性。由此,德布罗意给出物质波(matter
wave)假设,它认为对于动量与能量分别为 p 与 E
的自由实物粒子,有如下波与其相联系:

几乎与此同时,薛定谔由德布罗意的物质波概念出发,把电子的运动想象为一种可以用波描述的对象。然后建立了一个对波函数适用的偏微分方程——薛定谔方程。

不过,玻尔模型在很多地方仍然是粗略的:例如它只能解释氢原子光谱,对其他稍复杂的原子光谱就毫无办法;它创立之时人们还没有自旋的概念,从而玻尔模型无法解释原子谱线的塞曼效应和精细结构;玻尔模型也无法说明电子在两条轨道之间跃迁的过程中到底是处于一种什么状态(即泡利所批评的“糟糕的跃迁”)。

λ = h/p,

对物理学家来说,波动是一种很熟悉的图像。对普通人来说也是如此,琴弦上的振动是波,两列水波相遇是波,声波是波,电磁波也是波等等。

德国物理学家阿诺·索末菲在1914年至1915年间发展了玻尔理论,他提出了电子椭圆轨道的量子化条件,从而将开普勒运动纳入到量子化的玻尔理论中并提出了空间量子化概念,他还给量子化公式添加了狭义相对论的修正项。

ν = E/h.

这里我们把电子的运动状态用一个波函数来描述,这和说我们把电子想象成一个波还是有区别的。物理学家的意思是电子本身还是粒子,只是它的运动需要借助波的语言。在此基础上我们需要发展成套的数学工具来描述电子的性质,比如:如何由一个波函数知道电子的能量等等。

索末菲的量子化模型很好地解释了正常塞曼效应、斯塔克效应和原子谱线的精细结构,他的理论收录在他在1919年出版的《原子结构与光谱线》一书中。索末菲在玻尔模型的基础上给出了更一般化的量子化条件:{\displaystyle
\oint p_{i}dq_{i}=n_{i}h\,\!}

德布罗意的物质波理论被他的导师转交爱因斯坦审阅,并得到了后者的大力赞赏,这不仅使他获得了博士学位,更将使整个量子理论进入一个新境界。

我们把海森堡的方案叫矩阵力学,把薛定谔的方案叫波动力学,这都是很直接的命名,如果你解矩阵方程的话,就是矩阵力学,如果你解波动方程的话就是波动力学。同时我们也理解为什么一个物理系的学生在学量子力学之前必须先学线性代数和数理方法。线性代数是研究矩阵运算的,而数理方法教我们如何求解波动方程。

,这一条件被称作旧量子条件或威耳逊-索末菲量子化定则,与之相关联的理论是埃伦费斯特指出的被量子化的物理量是一个绝热不变量。

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量子力学的形式体系是由狄拉克最终完成的,狄拉克比海森堡稍小,他的教育背景是电机工程和应用数学。他发明了一套方便的记号去表达量子力学,同时他重建了量子力学与经典力学的联系。

1905年爱因斯坦对电磁辐射的能量进行量子化从而提出了光量子的概念,但此时的光量子只是能量不连续性的一种体现,还不具有真实的粒子概念。1909年,爱因斯坦发表了《论我们关于辐射的本性和组成的观点的发展》,在这篇发言兼论文中爱因斯坦证明了如果普朗克黑体辐射定律成立,则光子必须携带有动量并应被当作粒子对待,同时还指出电磁辐射必须同时具有波动性和粒子性两种自然属性,这被称作波粒二象性。

图2:用电子作双缝实验,结果得到了如通常的波一般的干涉图样。从第一张图到第四张图,电子越来越多,干涉图样也越来越清晰。但值得注意,虽然图中每一个点表示有一个电子抵达探测屏,但点的离散状却并不意味着电子的“粒子性”。此实验由外村彰(Akira
Tonomura)团队于1988年开展。

经典力学对物理系统的描述也有不止一种数学形式,比如哈密顿形式使用位置和动量,拉格朗日形式使用位置和速度等等。狄拉克提出在哈密顿形式下,只要引入普朗克常数$h$,并把位置$x$和动量$p$看作是不能互相交换次序的量子力学数($q$数),我们就能把一个经典力学问题量子化(quantization)。

1917年,爱因斯坦在《论辐射的量子理论》中更深入地讨论了辐射的量子特性,他指出辐射具有两种基本方式:自发辐射和受激辐射,并建立了一整套描述原子辐射和电磁波吸收过程的量子理论,这不但成为五十年后激光技术的理论基础,还促成了现代物理学中迄今最精确的理论——量子电动力学的诞生。

1925年6月,刚在哥廷根大学获得教职的海森堡(Werner
Heisenberg,1901-1976)因躲避过敏性鼻炎而前往德国北部的海姑兰岛。在那里,他一面品味着歌德的抒情诗集《西东诗集》(West-?stlicher
Divan),一面通过类比自傅立叶级数的方法,给出了描述量子理论的一个新方案,并找出了其中的关键:非对易性(noncommutativity)。在海森堡将他的结果寄给他大学时的老师玻恩(Max
Born,1882-1970)后,后者意识到,海森堡的方法事实上就是将矩阵的概念引了进来。在此基础上,当年内,他们就与玻恩的助教约尔旦(Pascual
Jordan,1902-1980)一起,发展出了一套用系统化的矩阵语言来描述量子理论的新形式,称为矩阵力学(matrix
mechanics)。

量子化意味着我们要使位置和速度满足以下关系:

1923年,美国物理学家阿瑟·康普顿在研究X射线被自由电子散射的情况中发现X射线出现能量降低而波长变长的现象,他用爱因斯坦的光量子论解释了这一现象并于同年发表了《X射线受轻元素散射的量子理论》。康普顿效应从而成为了光子存在的论断性证明,它证明了光子携带有动量,爱因斯坦在1924年的短评《康普顿实验》中高度评价了康普顿的工作。

与此同时,正在剑桥攻读博士学位的狄拉克(Paul
Dirac,1902-1984)指出,矩阵力学中的非对易性与分析力学中的泊松括号密切相关。在此基础上,狄拉克建立起了完整的正则量子化(canonical
quantization)手续,并以此获得了博士学位。

\begin{equation}
xp – px = i \frac{h}{2 \pi}
\end{equation}

1923年,法国物理学家路易·德布罗意在光的波粒二象性,以及布里渊为解释玻尔氢原子定态轨道所提出的电子驻波假说的启发下,开始了对电子波动性的探索。

在1925年受邀讲述德布罗意关于波粒二象性的论文后,时任苏黎世大学教授的薛定谔(Erwin
Schr?dinger,1887-1961)旋即于当年底到次年初建立了一个非相对论性的波动方程,即着名的薛定谔方程,并于1926年上半年完成了他所谓的波动力学的创建。因为1920年代物理学界对矩阵这一工具尚不熟悉,所以基于波函数(wave
function)与偏微分运算的薛定谔方程甫一诞生,便受到了当时物理学家们的热烈赞赏。同年,在研究了
海森堡等人建立的矩阵力学之后,薛定谔证明了矩阵力学与波动力学的等价性。

这里$i$是纯虚数,表示对-1开根号,即$\sqrt{ – 1}$。

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